题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围．

答案

（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）为奇函数…（3分）
证明：（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，设x₂=x₁+t，t＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数…（2分）
（3）∵y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax²-a²x=（a+1）（x-1）
∴ax²-（a²+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0时，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0时，则

1

a

∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥

1

2

或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
综上a∈（-1，+∞）…（1分）