题目
题型:解答题难度:一般来源:海淀区二模
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)求
1 |
2 |
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.
答案
即f(1)=f2(1)+f2(0).
因为f(1)=1,所以f(0)=0.(1分)
取x=y=0,得1=f(1)=f2(-1).因为f(1)=1>f(-1),
所以f(-1)=-1.
取x=0,y=2,得f(3)=f(0)•f(2)+f(-1)•f(1),
所以f(3)=-1;(3分)
(Ⅱ)在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)
中取y=1得f(2-x)=f(x).
所以f(1+x)=f(1-x).
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取y=x,
得f2(x)+f2(x-1)=1.
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取x=0,
得f(y+1)=f(0)f(y)+f(-1)f(y-1)=-f(y-1).
所以f(-2)=0.
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取y=-1,
得f(-x)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2).
所以f(-x)=-f(x).
在f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)中取y=-x,
得f(1-2x)=f(x)f(-x)+f(x-1)f(-x-1)
=-f2(x)-f(x-1)f(x+1)
=-f2(x)-f(x-1)f(1-x)
=-f2(x)+f2(x-1)=1-2f2(x).
所以
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2 |
所以
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(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(2-x)=f(x),
∴|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2⇔|2f(x)+Ax+B|≤2,
在|2f(x)+Ax+B|≤2中,
取x=-1,得-2≤-2-A+B≤2,即-2≤2+A-B≤2①
取x=1,得-2≤2+A+B≤2②
取x=3,得-2≤-2+3A+B≤2,即-2≤2-3A-B≤2③
②+①得A≤0,②+③得A≥0.∴A=0.
将A=0代入①得B≥0.
将A=0代入②得B≤0.∴B=0.
由(Ⅱ)知f2(x)+f2(x-1)=1,所以|f(x)|≤1对一切实数x成立.
故当A=B=0时,|2f(x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.
∴存在常数A=B=0,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立,
且A=B=0为满足题设的唯一一组值.(14分)
核心考点
试题【已知f(x)定义域为R,满足:①f(1)=1>f(-1);②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).(Ⅰ)求f(0),】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(1)该公司这种产品的年生产量为x百件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x),求f(x).
(2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大.
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f(-2-an) |
A.4017 | B.4018 | C.4019 | D.4021 |
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