题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（本小题满分13分）
已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当 时，总有．
（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：；
（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），试用常数表示实数的取值范围．

答案

（1）在上是增函数，证明如下：
任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数
（2）．
（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的 恒成立，只需成立，即成立．
①当时，的取值范围为；
②当时，的取值范围为；
③当时，的取值范围为R．

解析

（1）在上是增函数，证明如下：
任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数
（2）由在上是增函数知：
，
故不等式的解集为．
（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的 恒成立，只需成立，即成立．
①当时，的取值范围为；
②当时，的取值范围为；
③当时，的取值范围为R．