题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（12分）定义在区间(－1，1)上的函数f (x)满足：①对任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x) + f (y) =; ②当x∈(－1，0)，f (x) > 0.
（1）求证f (x)为奇函数；
（2）试解不等式：f (x) + f (x－1) .

答案

（1）略
（2）不等式的解集为

解析

解：（1）解：令x = y = 0，则
f (0) + f (0) =   ∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0
∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数…………………4分
（2）解：令－1< x₁ < x₂ < 1
则f (x₁) －f (x₂) = f (x₁) + f (－x₂) =
∵x₁－x₂ < 0，1－x₁x₂ > 0
∴ ∴ > 0
∴ f (x₁) > f (x₂) ∴ f (x) 在(－1，1)上为减函数
又f (x) + f (x－1) >
…………………8分
∴ 不等式化为
或
∴ 不等式的解集为…………………12分