题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（10分）函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.

答案

（1）f(x)＝.
（2）略
（3）0＜t＜.

解析

(1)依题意得即⇒
∴f(x)＝.…………3分
(2)任取－1＜x₁＜x₂＜1，f(x₁)－f(x₂)＝－＝
∵－1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁－x₂＜0,1＋x₁²＞0,1＋x₂²＞0.又－1＜x₁x₂＜1，∴1－x₁x₂＞0
∴f(x₁)－f(x₂)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．                …………7分
(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.                           …………10分