题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数，，当时，，且对任意实数，
有，
求证：；
（2）证明：是R上的增函数；
（3）若，求的取值范围。

答案

（1）a=b=0，得f(0)=1。
（2）任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0
利用 得到 f(x₂)>f(x₁) 。
（3）0<x<3

解析

试题分析：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]²∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1             4
（2）任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0
∴  ∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函数
8
（3）f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴ 由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0<x<3                       12
点评：中档题，本题作为一道“连环题”，可采用分步得分的原则，首先利用“赋值法”解题。本题主要难点是配凑。抽象函数不等式的解法，主要是利用函数的单调性，转化成具体不等式求解。