题目

题型：解答题难度：一般来源：0112 模拟题

已知定义域为(0，+∞)的单调函数f(x)满足：f(m)+f(n)=f(m·n)对任意m，n∈(0，+∞)均成立．
（Ⅰ）求f(1)的值；若f(a)=1，求的值；
（Ⅱ）若关于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且仅有一个根，求实数k的取值集合．

答案

解：（Ⅰ）令m=n=1，解得：f（1）=0； 　
又令，解得：。
（Ⅱ）令m=n，得：，
所求方程等价于，
又是上的单调函数，所以原方程可化为，
即若k＞0，则原问题为方程在上有一个根，
设其两根为，则，又注意到，∴只可能是二重正根，
由△=0，解得k=4或k=0（矛盾，舍去）；
若k＜0，则原问题为方程在（-1，0）上有一个根，仍有，
记，易知g（0）=1＞0，
由根的分布原理，只需 g（-1）＜0，即k＜0；
综上，。