题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数
（1）求实数b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+

a

f(x)

的值域．

答案

（1）∵定义域为R，
∴f（0）=0，∴b=-

1

2

；

（2）是单调递增函数．
∵定义域为R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(

1

ax1+1

-

1

2

)-(

1

ax2+1

-

1

2

)=

ax2-ax1

(ax1+1)(ax2+1)

∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴

ax2-ax1

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=

1

ax+1

-

1

2

，（0＜a＜1）是单调递增函数

（3）y=g（t）=t+

a

t

，t∈(0，

1

2

)
当

0＜a＜1 a ≥ 1 2

⇒

1

4

≤a＜1时，y=g（t）在t∈(0，

1

2

)单调递减，
值域：(2a+

1

2

，+∞)
当

0＜a＜1 a ＜ 1 2

⇒0＜a＜

1

4

时，y=g（t）=t+

a

t

≥2

a

，
当且仅当t=

a

∈(0，

1

2

)时，y_min=2

a

，
值域：[2

a

，+∞)．