题目

题型：单选题难度：一般来源：闵行区一模

已知函数f(x)=x-

a

x

（a＞0），有下列四个命题：
①f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；
④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（　　）

A．仅②④

B．仅②③

C．仅①②

D．仅③④

答案

①当a=x=1时f（x）=0，所以f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞），错误；
②f（-x）=-x+

a

x

，而f（x）=x-

a

x

，所以f（-x）+f（x）=-x+

a

x

+x-

a

x

=0得到函数为奇函数，正确；
③因为f′（x）=1+

a

x2

，由a＞0得到f′（x）＞1＞0，所以函数单调递增，正确；
④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a，当a=4时，方程有三个解，错误．
故选B