题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=3^x-1的反函数y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，当x∈D时，求H（x）的值域．

答案

（Ⅰ）由原函数，令x=3^y-1，得y=log₃（x+1）
故函数数的反函数为y=f^-1（x）=log₃（x+1），
不等式f^-1（x）≤g（x）化为：log₃（x+1）≤log₉（3x+1）
即：log₉（x+1）²≤log₉（3x+1）
所以有0＜（x+1）²≤3x+1且x＞-1
解这个不等式组，得0≤x≤1
∴不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)=log₉

3x+1

x+1

=log9(3-

2

x+1

)
因为x∈D，所以真数3-

2

x+1

∈[1，2]
可得H（x）的值域为[log₉1，log₉2]，
∴H（x）的值域是[0，log₉2]