题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②x=

3a

2

时，y=a2；③y＞0．
（I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．

答案

（I）设y=k（2a-x）（x-a），
因为当x=

3a

2

时，y=a2，所以k=4
所以y=4（2a-x）（x-a）
因为4（2a-x）（x-a）＞0，所以a＜x＜2a
所以定义域为（a，2a）；
（II）

y

x

=-4（x+

2a2

x

）+12a≤-4•2

x• 2a2 x

+12a=(12-8

2

)a
当且仅当x=

2a2

x

，即x=

2

a时，每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大．