题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）f(x)=3;
(2)g(x)=-(.

答案

（1）f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］（2）g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）

解析

（1）依题意x²-5x+4≥0,
解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥3⁰=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.
（2）由g(x)=-(
∴函数的定义域为R，令t=(^x (t＞0),∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,等号成立条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)²+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，
求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，
由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.