题目
题型:单选题难度:简单来源:不详
A. | B. |
C. | D. |
答案
解析
试题分析:∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f"(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.①
设φ(x)=x2-ax-2,
方法一:①⇔φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f"(-1)=0以及当a=-1时,f"(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
①⇔,φ(-1)=1+a-2≤0或,φ(1)=1-a-2≤0⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f"(-1)=0以及当a=-1时,f"(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
由=,得x2-ax-2=0,∵△=a2+8>0,∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,从而|x1-x2|===∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
②⇔g(-1)=m2-m-2≥0,g(1)=m2+m-2≥0,
⇔m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.,
方法二:
当m=0时,②显然不成立;
当m≠0时,
②⇔m>0,g(-1)=m2-m-2≥0或m<0,g(1)=m2+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.,选A.
点评:解决该试题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立,让两端点大等于零,以及函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之
核心考点
举一反三
已知函数的定义域为,
(1)求;
(2)当时,求函数的最大值。
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
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