题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f (x)=-ax3+x2+(a-1)x- (x>0),(aÎR).
(Ⅰ)当0<a<时,讨论f (x)的单调性;
(Ⅱ)若f (x)在区间(a, a+1)上不具有单调性,求正实数a的取值范围.
答案
(2)(0,)∪(,1).
解析
试题分析:解:(Ⅰ) f (x)的定义域为.
=-a(x-1)[x-(-1)]. ……2分
当0<a<时,-1>1,
∴f (x)在(0,1),(-1,+¥)递减;在(1, -1)递增; ……4分
(Ⅱ) f (x)在区间上不具有单调性等价于f (x)在区间内至少有一个极值点. ……5分
①当a=时,f ¢(x)=- (x-1)2≤0Þf (x)在上递减,不合题意; …7分
②当a≥1时,f ¢(x)=0的两根为x1=1,x2=-1,∵,故不合题意;③当,且a≠时,f (x)在区间上不具有单调性等价于:
或
,且a≠. ……11分
综上可知,所求的取值范围是(0,)∪(,1). ……12分
点评:这类问题的解决一般主要涉及两类题型,求解单调区间,同时证明不等式恒成立问题。前者经常要对于参数分类讨论,注意对于一元二次不等式的熟练运用,是解决这个题型的关键,后者主要是求解函数的最值来证明不等式。如果递增,则说明函数在给定区间上导数恒大于等于零,反之,则恒小于等于零。来分离参数的思想求解参数的范围。
核心考点
试题【(本题满分12分)已知函数f (x)=-ax3+x2+(a-1)x- (x>0),(aÎR).(Ⅰ)当0<a<时,讨论f (x)的单调性;(Ⅱ)若f (x)在区】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)若的单调区间;
(2)若函数存在极值,且所有极值之和大于,求a的取值范围。
A. | B. | C. | D. |
A.增函数,最大值为 | B.增函数,最小值是 |
C.减函数,最大值为 | D.减函数,最小值是 |
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