题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）当时，求函数的值域．

答案

（1）奇函数，（2）.

解析

试题分析：（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.
试题解析：（1）∵，
，                              4分
∴是奇函数．                                                 5分
（2）令，则．                              7分
∵，∴，∴，∴，
所以的值域是．                                       10分