题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设等差数列{a_n}的前n项和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-2．集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通项公式．

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差是d，
由S₃=9和S₆=36，
得

3a1+3d=9 6a1+15d=36

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
故数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1．
（2）存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列．
∵存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列，
∴（2m-1）（2k-1）=（2m+9）²，
∴2k-1=

(2m+9)2

2m-1

=

(2m-1+10)2

2m-1

=2m-1+20+

100

2m-1

，
即k=m+10+

50

2m-1

，m，k是正整数，
∴存在正整数m，k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列，
m，k的值分别是m=1，k=61或m=3，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a_3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，
a_3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，
a_3k=2•3k-1=6k-1，
b_2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a_3k-2，
b_2k=3•2k-2=6k-2∉A，
∴a_3k-2=b_2k-1＜a_3k-1＜b_2k＜a_3k，k=1，2，3，…，
即当n=4k-3，k∈N^*时，c_n=6k-5；
当n=4k-2，k∈N^*时，c_n=6k-3；
当n=4k-1，k∈N^*时，c_n=6k-2；
当n=4k，k∈N^*时，c_n=6k-1．
∴{c_n}的通项公式是c_n=

6k-1，n=4k-3 6k-3，n=4k-2 6k-2，n=4k-1 6k-1，n=4k

，
即cn=

3n-1 2 ，n=2k-1 3n 2 ，n=4k-2 3n-2 2 ，n=4k

．