题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有定义，在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又知函数g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，

π

2

]，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

答案

∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
又由f（1）=0得f（-1）=-f（1）=0
∴满足

g(θ)＜0 f(g(θ))＜0=f(-1)

的条件是

g(θ)＜0 g(θ)＜-1

即g(θ)＜-1(θ∈[0，

π

2

])，即sin²θ+mcosθ-2m＜-1，
也即-cos²θ+mcosθ-2m+2＜0．
令t=cosθ，则t∈[0，1]，又设δ（t）=-t²+mt-2m+2，0≤t≤1
要使δ（t）＜0，必须使δ（t）在[0，1]内的最大值小于零
1°当

m

2

＜0即m＜0时，δ（t）_max=δ（0）=-2m+2，解不等式组

m＜0 -2m+2＜0

知m∈∅
2°当0≤

m

2

≤1即0≤m≤2时，δ（t）_max=

m2-8m+8

4

，
由

m2-8m+8

4

＜0，解得4-2

2

≤m≤4+2

2

，故有2≥m≥4-2

2​

当

m

2

＞1即m＞2时，δ（t）_max=-m+1，解不等式组

m＞2 -m+1＜0

得m＞2
综上：M∩N={m|m＞4-2

2

 }