题目
题型:解答题难度:一般来源:西城区二模
(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求数列{bn}的前n项和;
(Ⅱ)证明:当a=2,b=
2 |
(Ⅲ)设A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…},试问在区间[1,a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅.若存在,求出b的一切可能的取值及相应的集合C;若不存在,试说明理由.
答案
由a2<b2,得a2-2a-1<0,
所以1-
2 |
2 |
因为a≥2且a∈N*,所以a=2,(4分)
所以bn=3n-1,{bn}是等差数列,
所以数列{bn}的前n项和Sn=
n |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅱ)由已知bn=3n+
2 |
2 |
2 |
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则(3n+
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2 |
2 |
所以9n2+6
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2 |
2 |
所以3n2-3mt=(m+t-2n)
2 |
若m+t-2n=0,则3n2-3mt=0,可得m=t,与m≠t矛盾;(7分)
若m+t-2n≠0,则m+t-2n为非零整数,(m+t-2n)
2 |
所以3n2-3mt为无理数,与3n2-3mt是整数矛盾.(9分)
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列.
(Ⅲ)设存在实数b∈[1,a],使C=A∩B≠∅,
设m0∈C,则m0∈A,且m0∈B,
设m0=at(t∈N*),m0=(a+1)s+b(s∈N*),
则at=(a+1)s+b,所以s=
at-b |
a+1 |
因为a,t,s∈N*,且a≥2,所以at-b能被a+1整除.(10分)
(1)当t=1时,因为b∈[1,a],a-b∈[0,a-1],
所以s=
a-b |
a+1 |
(2)当t=2n(n∈N*)时,a2n-b=[(a+1)-1]2n-b=(a+1)2n+-C2n1(a+1)+1-b,
由于b∈[1,a],所以b-1∈[0,a-1],0≤b-1<a+1,
所以,当且仅当b=1时,at-b能被a+1整除.(12分)
(3)当t=2n+1(n∈N*)时,a2n+1-b=[(a+1)-1]2n+1-b=(a+1)2n+1++C2n+11(a+1)-1-b,
由于b∈[1,a],所以b+1∈[2,a+1],
所以,当且仅当b+1=a+1,即b=a时,at-b能被a+1整除.(13分)
综上,在区间[1,a]上存在实数b,使C=A∩B≠∅成立,且当b=1时,C={y|y=a2n,n∈N*};当b=a时,C={y|y=a2n+1,n∈N}.
核心考点
试题【在数列{an}和{bn}中,an=an,bn=(a+1)n+b,n=1,2,3,…,其中a≥2且a∈N*,b∈R.(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求数列{bn}】;主要考察你对集合运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-2 | B.0 | C.-1 | D.1 |
A.{0} | B.{0,3} | C.{1,3,9} | D.{0,1,3,9} |
x-5 |
x+2 |
A.{x|-2<x<5} | B.{x|x>0} | C.{x|0<x<5} | D.{x|0≤x<5} |