题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．已知下列函数：①f(x)=

1

x

；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是 ______（写出所有满足要求的函数的序号）．

答案

①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则

1

x+1

=

1

x

+1
即x²+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，故方程无解．即f(x)=

1

x

∉M
②中，存在x=1，使f（x+1）=2^x+1=f（x）+f（1）=2^x+2成立，即f（x）=2^x∈M；
③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x²+2）∉M
④存在x=

1

3

，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
故答案为：②④