题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；

（1）当点在线段上运动（不与重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为，线段的长度为，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

略

解析

（1）证明：∵四边形OABC为矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP   ----------------------3分
(2)   由（1）知OA·BQ=AP·BP   ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-=
即L=    (0＜m＜4)
=
∴当m="2" 时，   L（最小）=   -----------------6分
(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO="PQ" .
当点P在线段AB上时，如图    
       
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴(1,3)
当点P在线段AB的延长线上时，如图   
     
此时△QBP≌△PAO 
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7              "
∴(7,3)                                       
当点P在线段AB的反向延长线上时，如图
     
此时∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能与△OPA全等,
即PQ不可能与PO相等,
此时点P不存在.
综上所述，知存在(1,3), (7,3).  ---------------9分