题目

题型：不详难度：来源：

阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101=______．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=______．
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．
（只需写出结果，不必写中间的过程）

答案

∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20，即1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×（3+1）×（3+2）=20
∴（1）原式=

1

3

×100×（100+1）×（100+2）=

1

3

×100×101×102；
（2）原式=

1

3

n（n+1）（n+2）；
（3）原式=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．