题目

题型：不详难度：来源：

在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10．

答案

设a，b分别为这324个正整数中的最小者和最大者，由于这些数互不相等，所以有b-a≥323；
（1）当a和b所在的方格既不同行又不同列时；
从a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格（上下或左右）的移动而达到b所在的格．
由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线（两路线途经的方格无一相同），由a所在的方格到达b所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．
若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b-a≤34×9=306．这与事实不符．
路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．
（2）当a和b所在的方格同行或同列时；
与情况1类似，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．