题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

如图1 ，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
⑴  如图2 ，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB=BC=CD ，  点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN=∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
⑵  如图3 ，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC+ ∠ADC=180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

答案

解：（1 ）  图2 ，   猜想：MN=AM+CN
证明: 延长 NC至点F ，使 CF= AM，连接BF      
∵四边形ABCD是等腰梯形      
∴∠DAB=∠ADC 
又∵AD ∥CB       
∴∠ADC = ∠BCF      
∴∠BCF= ∠DAB      
又∵AB=BC  AM=CF           
∴△AMB ≌△CFB
∴∠2= ∠3  BM=BF
∵∠MBN=∠ABC
∴∠1+∠2=∠MBN
∴∠1+∠3=∠MBN
即∠MBN=∠NBF
又∵BN=BN   BM=BF          
∴△MBN≌△FBN    
∴ MN=NF    
∵NF=NC+CF    
∴MN=AM+CN
（2 ）图3   猜想：MN=CN-AM