题目

题型：湖北省期末题难度：来源：

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是              ；
（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

答案

解：（1）∠AFD=∠DCA．
证明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴∠AFD=∠DCA；
（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC﹣∠FBC=∠DEF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠DEC，
在△ABF和△DEC中，，
∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC，
∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDC，∠FAC=∠CDF，
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
（3）如图，BO⊥AD．
由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，
∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，
∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC，∠ODA=∠BDA﹣∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，
点O在AD的垂直平分线上，
∴直线BO是AD的垂直平分线，
即BO⊥AD；