题目

题型：不详难度：来源：

有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得∠ADB=30°．

（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数．

答案

（1）BD=MF，且BD⊥MF．理由如下：
如图1，延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．

（2）如图2，根据旋转的性质知，∠AFK=∠ADB=30°．
当AK=FK时，∠KAF=∠AFK=30°，
则∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK=

180°-∠AFK

2

=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
故β的度数为60°或15°．