题目

题型：江苏月考题难度：来源：

小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：
操作一：如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.
（1）如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长.
（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数. 操作二：如图，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？
操作三：如图，小丽又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB。你能证明：BC²+AD²=AC²+BD² 吗？

答案

(1)由对称性可得AD=BD
∵△ACD的周长=AC+CD+AD
∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14(㎝)；
(2) 设∠CAD=4x ， ∠BAD=7x 由题意得方程：7x+7x+4x=90 解之得 x =5 所以∠B=35^。
操作二：
设CD= x 则BD=8-x DE=x 由题意可得方程 解之得 x=3
所以 CD=3㎝；
操作三：
在Rt△BCD中，由勾股定理可得
在Rt△ACD中，由勾股定理可得 AD²+CD²= AC²
∴BC²+AD²= + AD²= AC²+BD²