题目

题型：不详难度：来源：

在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度得到新位置图形的一种变换．
活动一：如图l，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD =2，BD =1，且四边形DECF是正方形，在求阴影部分面积时，小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE(如图2所示)，小明一眼就看出答案，请你写出阴影部分的面积：________．
活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC =5，CD =3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADC(如图4所示)，则：
(1)四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：___________；
(2)AE的长是______________．
活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC绕点B逆时针 旋转90°得到线段BE，连结AE.若AB =2，DC =4，求△ABE的面积．

答案

1     正方形       2

解析

活动一：1；………2分 活动二：正方形，4；……6分  活动三：2……10分
（1）根据旋转的性质可知△DBF≌△DGE，则DG=BD=1，那么阴影部分的面积=Rt△ADG的面积=×AD×DG；
（2）根据旋转的性质可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四边形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，则四边形AECD是矩形，又AE=AD，则矩形AECD是正方形；设BE=x，则DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，进而得出AE的长；
（3）过点B作于点G，过点E作EF与AB的延长线交于点F，通过证明△BCG≌△BEF，从而得出S_△ABE的值。
解：活动一：
∵四边形DECF是正方形，      ∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=x      ∵AC²+BC²=AB²， ∴9x²+（x）²=9，
解得：x=，∴DE=DF=，AE=，BF=,
∴S_△ADE+S_△BDF=1，        ∴S_阴影=1；
故答案为：1；
活动二：根据题意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC     ∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，    ∴四边形AECG是矩形，
∵AE=AG，    ∴四边形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，    ∴设AE=x，则BE=GD=CG-CD=x-3，BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，      解得：x=4，     ∴AE=4．
故答案为：正方形，4；
活动三：过点B作于点G，过点E作EF与AB的延长线交于点F.
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，     
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，                                              
∴CG=DC-DG=4-2=2．                                
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，     
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG与△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，      ∴CG=EF=2．      ∴S_△ABE=AB×EF=2.