题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．
求证：S₁∶S₂＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

答案

见解析

解析

（1）∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60∠，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等边三角形；
（2）在Rt△ACB中∠ABC=30°
∴AC:BC=1:
又∵旋转角度为θ
∴∠ACA"=∠BCB"
又∵将△ABC旋转到△
∴AC=A"C   CB=CB"
∴AC:BC=A"C:B"C="1:"
∴△ACA"∽△BCB"
∴S1∶S2＝
（3）（3）当E,C,P三点在一条直线上时取得最大值，即旋转120°，EP==.