题目

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。

小萍同学灵活运用了轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D、C点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。

答案

（1）由翻折变换可得∠E＝∠ADB＝90°，EB＝BD＝2，CF＝CD＝3，∠F＝∠ADC＝90°，AE＝AD，AF＝AD，再结合可得四边形AEGF为矩形，再有AE＝AF＝AD，即可证得结论；（2）6

解析

试题分析：（1）由翻折变换可得∠E＝∠ADB＝90°，EB＝BD＝2，CF＝CD＝3，∠F＝∠ADC＝90°，AE＝AD，AF＝AD，再结合可得四边形AEGF为矩形，再有AE＝AF＝AD，即可证得结论；    
（2）由AD＝x，根据正方形的性质可得AE=EG=GF=AF=x，即可得到BG＝x-2，CG＝x-3，BC＝2+3＝5，再根据勾股定理即可列方程求得结果.
在Rt△BGC中，
解得（不合题意，舍去）
∴AD＝x=6.
（1）∵AD⊥BC，BD＝2，DC＝3，由翻折变换可知：
∠E＝∠ADB＝90°，EB＝BD＝2，CF＝CD＝3，∠F＝∠ADC＝90°.
AE＝AD，AF＝AD
又∵∠BAC＝45°，则∠EAF＝90°
∵∠E＝∠F＝∠EAF＝90°
∴四边形AEGF为矩形
又∵AE＝AF＝AD，则矩形AEGF为正方形；      
（2）∵AD＝x，则AE=EG=GF=AF=x，又EB＝2，CF＝3
∴BG＝x-2，CG＝x-3，BC＝2+3＝5
在Rt△BGC中，
解得（不合题意，舍去）
∴AD＝x=6.
点评：解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形.