题目

题型：不详难度：来源：

如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．

(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．

答案

（1）DB′＝EC′，见解析   （2）60°

解析

解：(1)DB′＝EC′.理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD＝AE＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′，
∴∠B′AD＝∠C′AE＝a，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，
在△B′AD和C′AE中，
∵ ∴≌
∴DB′＝EC′；
(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°，
在Rt△B′DA中，
∵AD＝AB＝AB′，
∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，
即旋转角α的度数为60°.