题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）

答案

（1）如图，作点D关于x轴的对称点D"，连接CD"与x轴交于点E，连接DE．
若在边OA上任取点E"与点E不重合，连接CE"、DE"、D"E"
由DE"+CE"=D"E"+CE"＞CD"=D"E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴BC=3，D"O=DO=2，D"B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D"OE∽Rt△D"BC，有

OE

BC

=

D′O

D′B

∴OE=

D′O•BC

D′B

=

2×3

6

=1
∴点E的坐标为（1，0）；

（2）如图，作点D关于x轴的对称点D"，在CB边上截取CG=2，连接D"G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．
∵OE∥BC，
∴Rt△D"OE∽Rt△D"BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

∴点E的坐标为（

1

3

，0），点F的坐标为（

7

3

，0）（10分）