题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，等边三角形ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE=EB，设 EC=x（0<x≤2）。
（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；
（3）当（2）中的EFPQ面积最大时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时EFPQ四条边交点的总个数，求相应r的取值范围，

答案

解：（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条；
（2）如图，在Rt△CHE中，∠CHE=90°，∠C=60°，
∴，
∵PQ=EF=BE=4-x，
∴=；
（3）=，
∴当x=2时有最大值，此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，
且点C、点Q重合，
∴是菱形，
如图，过点E作ED⊥FP于D，
∴，
∴当⊙E与四条边交点的总个数是2个时，；
当⊙E与四条边交点的总个数是4个时，r=；
当⊙E与四条边交点的总个数是6个时，<r<2；
当⊙E与四条边交点的总个数是3个时，r=2；
当⊙E与四条边交点的总个数是0个时，r>2。