题目

题型：江苏省模拟题难度：来源：

等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．
（1）当△ABC的边(BC边除外)与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？
（2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

答案

（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A’B’C’处，
       A’C’与⊙O切于点E，连OE并延长，交B’C’于F．
      设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A’C’，OD⊥直线l．
      由切线长定理可知C’E= C’D，设C’D=x，
      则C’E= x，易知C’F=x
      ∴x+x=1 ∴x=-1 ∴CC’=5-1-(-1)=5-
       ∴点C运动的时间为
       ∴点B运动的的距离为；
（2）∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，
           路程差为6，速度差为1
       ∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒；
（3）∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，
          路程差为4，速度差为1
       ∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，
   此时△ABC移至△A”B”C”处， A”B”=1+4×=3
   连接B”O并延长交A”C”于点P，易证B”P⊥A”C”，
    且OP=＜1   
∴此时⊙O与A”C”相交
∴不存在