题目

题型：云南省中考真题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交与点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）∠F=30°时，求的值？

答案

解：（1）连接OE，
∵AE平分∠FAC，
∴∠CAE=∠OAE，
又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠OEF=∠ACF，
又∵AC⊥EF，
∴∠OEF=∠ACF=90°，
∴OE⊥CF，
又∵点E在⊙O上，
∴CF是⊙O的切线； （2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，
∴OF=2OE，
又OA=OE，
∴AF=3OE，
又∵OE∥AC，
∴△OFE∽△AFC，
∴，
∴，
∴。