题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为M，与x轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b，若关于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM的形状，并说明理由；
（2）当顶点M的坐标为（-2，-1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标。

答案

解：（1）令
得
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
△ABM是一个以a、b为直角边的等腰直角三角形。
（2）设
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M（-2，-1）
∴，即AB=2
∴A（-3，0），B（-1，0）
将B（-1，0） 代入中得
∴抛物线的解析式为，即
图“略”；
（3）设平行于x轴的直线为
解方程组
得，
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与轴相切
据题意得
∴
解得
∴圆心坐标为和。