如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OP•BC． - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．
求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA²=OP•BC．

答案

证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，
∴∠PMO=90°，
∵弦AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PMO，
∵AC∥PM，
∴∠CAB=∠P，
∴△ABC∽△POM；

（2）∵△ABC∽△POM，
∴

，
又AB=2OA，OA=OM，
∴

2OA

，
∴2OA²=OP•BC．

核心考点

试题【如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OP•BC．】；主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF；
（3）若CM=

，MF=

，求BD；
（4）若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DGH是等边三角形．设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的等量关系，请直接写出其结论．

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如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．
（1）求证：EA²=EB•EC；
（2）若EA=AC，cos∠EAB=

，AE=12，求⊙O的半径．

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⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于

点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若圆的半径为3，BD=2，DC=4，求AE和BC．

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如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=______．

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如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）如果DE⊥BC，求

的长度．

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