题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F。
（1）求证：AD=BD；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，sin∠F=，求DE的长。

答案

解：（1）证明：如图，连结CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB
∵AC=BC，
∴AD=BD；
（2）连结OD，
∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DCO，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO，
∴∠CDO=∠ADE，
由（1）得∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠CDE=90°，即∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）在Rt△DOF中，
∵sin∠F=，
∴OF=5，
∵OC=3，
∴CF=5-3=2，
由（2）得∠DEA=∠ODF=90°，
∴OD∥AC，
∴△CEF∽△ODF，
∴，即，
∴DE=。