题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:PB与⊙O相切;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的数量关系,并加以证明;
(3)若AC=12,tan∠F=,求cos∠ACB的值.
答案
∵PA与⊙O相切,
∴PA⊥OA,即∠OAP=90°。
∵OP⊥AB,∴D为AB中点,即OP垂直平分AB
∴PA=PB。
∵在△OAP和△OBP中,,
∴△OAP≌△OBP(SSS)。
∴∠OAP=∠OBP=90°。∴BP⊥OB。
∵OB是⊙O的半径,∴PB为圆O的切线。
(2)EF2=4DO•PO。证明如下:
∵∠OAP=∠ADO=90°,∠AOD=∠POA,∴△OAD∽△OPA。
∴,即OA2=OD•OP。
∵EF为圆的直径,即EF=2OA,∴EF2=OD•OP,即EF2=4OD•OP。
(3)连接BE,则∠FBE=90°。
∵tan∠F=,∴。∴可设BE=x,BF=2x。
则由勾股定理,得。
∵S△BEF=BE•BF=EF•BD,∴BD=。
又∵AB⊥EF,∴AB=2BD=。
∴Rt△ABC中,BC=,AC2+AB2=BC2,
∴122+()2=()2,解得:x=。
∴BC==20。
∴。
解析
(2)由一对直角相等,一对公共角,得出三角形AOD与三角形OAP相似,由相似得比例,列出关系式,由OA为EF的一半,等量代换即可得证。
(3)连接BE,构建直角△BEF.在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x,BF=2x,进而可得EF=;然后由面积法求得,所以根据垂径定理求得AB的长度,在Rt△ABC中,根据勾股定理易求BC的长;最后由余弦三角函数的定义求解。
核心考点
试题【(2013年四川攀枝花8分)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,直线PO交⊙O与点E,F过点A作PO的垂线AB垂足为D,交⊙O与点B,延长BO与⊙O交与点C,连接】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.
A.3 B.4 C.5 D.8
A.4 | B.5 | C.6 | D.7 |
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