题目

题型：北京中考真题难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM 平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径。

答案

解：（1）如图，连接OM，则OM=OB，
∴∠1=∠2，
∵BM平分∠ABC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BC，
∴∠AMO=∠AEB，
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠AMO=90°，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=BC，∠ABC=∠C，
∵BC=4，cosC=，
∴BE=2，cos∠ABC=，
在△ABE中，∠AEB=90°，
∴，
∴ 设⊙O的半径为r，则AO=6-r，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴，
∴，解得，
∴⊙O的半径为。