题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形，你可以利用这一结论解决问题。
如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形，若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-m，0）、C（m，0）。
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是_______；
（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值；
②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由。

答案

解：（1）平行四边形；（2）①∵点B（p，1）在的图象上，
∴
∴，
过B作BE⊥x轴于E，则，BE=1，
在Rt△BOE中，，α=30°，
∴OB=2，
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，
∴OB=OD=，
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0） 
∴，
∴m=2；
②能使四边形为ABCD矩形的点B共有2个；（3）四边形ABCD不能是菱形，
∵点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
∴四边形ABCD的对角线AB在x轴上，
又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点，
∴对角线AC与BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不能是菱形。