题目

题型：云南省中考真题难度：来源：

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动，如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s。

（1）求∠OAB的度数；
（2）以OB为直径的⊙O"与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O"相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；
（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由。

答案

解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°；

 

 

（2）如右图，连接O"P，O"M，
当PM与⊙O"相切时，有∠PMO"=∠POO"=90°，
△PMO"≌△POO"，
由（1）知∠OBA=60°，
∵O"M=O"B，
∴△O"BM是等边三角形，
∴∠BO"M=60°，
可得∠OO"P=∠MO"P=60°，
∴OP=OO"·tan∠OO"P =6×tan60°=6，
又∵OP=2t，
∴2t=6，t=3，
即：t=3时，PM与⊙O"相切；

（3）如右图，过点Q作QE⊥x于点E，
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=AQ=2t，
AE=AQ·cos∠OAB=4t×，
∴OE=OA-AE=，
∴Q点的坐标为（，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_{△BRQ
=，=
=}，
当t=3时，S_△PQR最小=；

（4）分三种情况：如右图：
①当AP=AQ₁=4t时，
∵OP+AP=，
∴t+4t=，
∴t=；
②当PQ₂=AQ₂=4t时，
过Q₂点作Q₂D⊥x轴于点D，
∴PA=2AD=2AQ₂·cosA=t，
即，
∴t=2；
③当PA=PQ₃时，过点P作PH⊥AB于点H，
AH=PA·cos30°==18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，得36-6t=4t，
∴t=3.6，
综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形。