题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）。请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值，此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？

答案

解：（1）△BMP是等边三角形
连接AN
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°
∴∠PBN=30°
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°
∴△BMP为等边三角形。（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°
∴
∴
∴
所以当时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP。（3））∵∠M′BC=60°，
∴∠ABM′=90°-60°=30°
在Rt△ABM′中，
∴
∴
∴，代入y=kx中，得
设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC交BC于H
∵△A′BM′≌△ABM′，
∴∠A"BM"=∠ABM"=30°，A′B=AB=2
∴∠A"BH=∠M"BH-∠A"BM"=30°
在Rt△A′BH中，A′H=
∴
∴A′落在EF上。