题目

题型：中考真题难度：来源：

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立。
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长。

答案

解（1）BD=CF成立，理由：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF；
（2）①证明：设BG交AC于点M，
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM，
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CF，
②过点F作FN⊥AC于点N，
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴AE==2，
∴AN=FN=AE=1，
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC﹣AN=3，BC==4，
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==，
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．
∴AM=AB=，
∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==，
∵△BMA∽△CMG，

∴，
∴，
∴CG=，
∴在Rt△BGC中，BG==。