题目

题型：上海市期中题难度：来源：

已知△ABC中，（如图），点到两边的距离相等，且PA=PB。

（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；
（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由。

答案

解：
（1）依题意，点P既在的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上。
如图1-1，作的平分线CP，作线段的垂直平分线PM，CP与PM的交点即为所求的P点。【有作图痕迹，且作图基本正确】。
是等腰直角三角形。（只写出等腰三角形，不得分）。
理由如下：过点P分别作、，垂足为E、F（如图1-2）。
∵平分，、，垂足为E、F，
∴。
又∵，∴≌。
∴
∵，，，
∴，从而。
又∴是等腰直角三角形。

（2）如图1-2，在中，，，，
∴。
由≌，≌，可得，。
∴。
在中，，，，
∴。
∴。
所以的周长为：。
因为的面积=的面积的面积的面积
=
=
=（）。
【或】
（3）过点分别作、，垂足为M、N（图1-3）。

易得
由DN∥AC得①；
由DM∥BC得②
①+②，得，即

∴，即