题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．

(1)求AC所在直线的函数解析式；
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝，∴点E(0，。
设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝。
∴直线AC的函数解析式为y＝。
(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝，
设EG＝3t，OG＝5t，，∴，得t＝2。
∴EG＝6，OG＝10。∴/
(3) 存在。
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₁，
由△OP₁F≌△OP₁Q，则有P₁F⊥x轴，
由于点P₁在直线AC上，当x＝10时，
y＝
∴点P₁(10，)。
②当点Q在AB上时，如图2，

有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₂，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，
则BH＝QH＝14－a，
在Rt△OQH中，a²＋(14－a)²＝100，
解得：a₁＝6，a₂＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。
连接QF交OP₂于点M．
当Q(－6，8)时，则点M(2，4)；当Q(－8，6)时，则点M(1，3)。
设直线OP₂的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。∴y＝2x。
解方程组，得。
∴P₂()；
当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P₂′()。
综上所述，满足条件的P点坐标为
(10，)或()或()。

解析

(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。
(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可。