题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒。
（1）填空：菱形ABCD的边长是_______、面积是______、 高BE的长是_______；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。

答案

解：（1）5，24，； （2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得
△AQG∽△ABE，
∴，
∴QG=， 
∴（≤t≤5），
∵（≤t≤5），
∴当t=时，S最大值为6；
② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可，
当t=4秒时，
∵点P的速度为每秒1个单位，
∴AP=4，
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE>PA，
∴只存在点Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如图2，过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交 AC于点F，则AM=，
由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得
，
∴， 
∴，
∴CQ₁=，则，
∴，
第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q₂，Q₃，分别使AP=AQ₂，PA=PQ₃，
①若AP=AQ₂，
如图3，CB+BQ₂=10-4=6，
则，
∴，
②若PA=PQ₃，
如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得，
∵AE=，
∴AN=，
∴AQ₃=2AN=，
∴BC+BQ₃=10-，
则，
∴，
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或。