题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

如图（1），在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H。
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图（2），动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值。

答案

解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E（如图（1）），
∵A（-3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则有，∴，
∴直线AC的解析式为：；
（2）由（1）得M点坐标为，
∴，
如图（1），当P点在AB边上运动时，由题意得OH=4，
∴，
∴=，
∴，
当P点在BC边上运动时，记为P₁，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=，∠MOC=∠MBC=90°，
∴，
∴S=；
（3）设OP与AC相交于点Q，连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH= 90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH，
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB===2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=，
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ
∴∠AQP=∠CQO，
∴A△QP∽△CQO，
∴，
在Rt△AEC中，，
∴，，
在Rt△OHB中，，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴，
∴，
∴，
当P点在BC边上运动时，如图（3）
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴，即，
∴，
∴，
∴PC=BC-BP=5-，
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，当时，∠MPB与∠BCO互为余角，
直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为，
当时，∠MPB与∠BCO互为余角，
直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1。