题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β。
（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由。
（3）如图（3），当α+β=180°时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由。
②若=2，求的值。

答案

解：（1）PC=PD，；（2）成立，理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°
∴∠EPC=∠DPF
∴△EPC≌△FPD
∴PC=PD
∴
∵∠AOB=60°
∴。
（3）①存在；
②∵

∴∠PDC=∠POD
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO
∴
又
∴。