题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm，动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止，设点P运动的时间为ts。
（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T，求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O"恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；
（3）探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的？请说明理由。

答案

解：（1）在矩形OABC中，
∵OA=60，OC=80，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴y=PT=3t，
当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为，
所以，t的取值范围是；
（2）当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时，
A，T，P三点应在一条直线上（如答图2），
∴，
∴，
∴，
∴OP=45，
∴点P的坐标为（45，0），
设直线AP的函数解析式为y=kx+b，
将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，
得，解这个方程组，得，
∴此时直线AP的函数解析式是；
（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，
此时点不构成三角形；
故分两种情况
（i）当时，点T位于△AOP的内部（如图3），
过A点作AE⊥OB，垂足为点E，由，
可得AE=48，
∴
=，
若，则应有，
即，
此时，所以该方程无实数根，
所以，当时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的；
（ii）当时，点T位于△AOP的外部（如图4），
此时，
若，则应有，即，
解这个方程，得（舍去），
由于，
∴，
而此时，所以也不符合题意，故舍去，
所以，当时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的，
综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的。