题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=。
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵点，
∴，
B点坐标为
设过点A，B的直线的函数表达式为
由，得，
∴直线AB的函数表达式为。（2）如图，过点B作，交x轴于点D，
在和中，∵
∴
∴D点为所求
又
∴
∴
∴。（3）这样的m存在
在中，由勾股定理得
如图，当时，
则
解得
当时，
则
解得。